Обсуждение:Метод Ньютона

Рецензия на 20 января — 26 января 2008 г.

Заметил, что несоизмеримо мало хороших статей по математике и захотелось пополнить список. Жду отзывов и предложений.solitary dreamer 16:54, 20 января 2008 (UTC)

• В основе изложения алгоритма перевод или собственный текст? Встречаются шероховатости, вроде "действительно-значной" (исправил), " — сжимающее отображение. Чтобы оно было наиболее эффективно, " - отображение эффективно? Формула итераций (лучше, итерационная формула) и т.д. Вобщем, неплохо но надо повычитывать ещё. --Dmitry Rozhkov 17:14, 20 января 2008 (UTC)

  В принципе симбиоз и того и другого. Но большей частью всё же своё. Именно, отображение. solitary dreamer 17:19, 20 января 2008 (UTC)

  Просто в книгах более чёткие и устоявшиеся обороты в таких местах. Я бы написал, "Для наилучшей сходимости". Если Вы не против, я повычитываю и поправлю. --Dmitry Rozhkov 17:24, 20 января 2008 (UTC)

  Собственно для того я и выставил статью.) solitary dreamer 17:31, 20 января 2008 (UTC)

• Отличная работа. Но есть несколько замечаний, в основном, по оформлению.
  • Примечание №1 с обяснением, кто такой Ньютон излишне, лучше написать во введении, что метод был впервые предложен Ньютоном, с соответствующей гипперссылкой на статью Ньютон, Исаак. То же самое с Канторовичем.
  • В разделе "Обоснование", если $\phi '(x)$ будет равно 0, $\phi (x)$ будет константой. Результат, конечно, в конце получается верный, но рассуждение какое-то вывернутое.
  • В разделе "Обоснование" необходимо дать ссылку на теорему о сжимающем отображении. Иначе какое это тогда обоснование? Собственно, я и не увидел доказательства, что $\phi$ сжимающее.
  • Множество стилистически неуместных оборотов, типа "дает нам", "настало время", "вспомнив теорему" надо бы исправить. Звучит неформатно, как для энциклопедии.
  • Лично мне категорически не нравится шаблон для теорем в частности, и кажется сомнительной необходимость такого шаблона в общем. Похоже, лучше всего вставлять тексты теорем inline. Так оно будет аккуратнее выглядеть. Хацкер 18:42, 20 января 2008 (UTC)

  По поводу замечаний о бездоказательности раздела обоснование. Раздел переработан и внесены соответствующие правки. На мой взгляд это пока главное, дальше буду мучить стилистику) --solitary dreamer 20:29, 20 января 2008 (UTC)

  Теперь что касается теоремы. Я не очень понимаю, что Вы подразумеваете, говоря: «<…>вставлять тексты теорем inline<…>» Шаблон я использовал лишь для того, чтобы отделить текст теоремы от остального текста, потому что при использовании в тексте формул теоремы «растворяются», и выглядит это на мой взгляд ещё более убого (IMHO).--solitary dreamer 12:26, 21 января 2008 (UTC)

  Да, в общем то, то и подразумеваю — шаблон корявый, смотрится неважно. В плане вёрстки. Точнее сказать не могу. ИМХО, он в принципе излишний - в любой математической литературе, максимум, что делают - это оформляют теорему отдельным абзацем, жирным - слово "Теорема", и возможно, курсивом - сам текст. Хацкер 19:20, 21 января 2008 (UTC)

  Я абсолютно согласен с тем, что он корявый (мне не нравится ни его отцентрированность на странице, ни отцентрированность «книжки»). Но видите ли в чём дело, уважающие себя и свою работу авторы пишут свои труды на LaTeXе, и в результате получается, что абзацы выделены чётко, расстояние между строчками в пределах абзаца одинаковое за исключением патологических случаев, текст отсортирован по ширине и размеру в 55—70 символов на строку, и по этому необходимость как-то специально выделять основные понятия и теоремы отпадает. Здесь же и так и так ИМХО получается сплошное недоразумение, и я не знаю, как с этим бороться. Сейчас попробую что-нибудь сделать. --solitary dreamer 19:53, 21 января 2008 (UTC)

  Я убил шаблон, не могу сказать, что так оно смотрится заметно лучше, но и едва ли хуже. Возможно этот вариант действительно приятнее глазу. Какие-нибудь ещё замечания?--solitary dreamer 20:05, 21 января 2008 (UTC)

  Перечитал свои последние высказывания и нашёл, что они могли показаться оскорбительными. Приношу свои извинения, ежели так. --solitary dreamer 08:43, 22 января 2008 (UTC)

  Все нормально, не стоит извинятся. Лично мне такое оформление кажется лучше. Пусть еще кто-нибудь выскажется. В обсуждении математических статей, как всегда, нет кворума. Хацкер 13:32, 22 января 2008 (UTC)

Вроде что смог, то исправил. Остались ли у кого-нибудь неучтённые возражения и пожелания? Прошу вас, высказывайтесь. --solitary dreamer 16:26, 21 января 2008 (UTC)

• Я думаю, что будет лучше, если подробнее расписать, что есть что. Энциклопедией пользуются не только спциалисты, но и простые смертные, и сразу понять что означает,
  Цитата:
  $\left(f(x):\mathbb {X} \to \mathbb {R} ,\quad f(x)\in \mathrm {C} ^{3}(\mathbb {X} );\qquad \forall x\in \mathbb {X} :\quad f'(x)\neq 0\!\right)$
  неспециалисту, как кажется, - невозможно. Требуется пояснения, типа "рассмотрим функцию, область значений которой лежит в действительной области", я неумею красиво, но смысл, думаю, ясен. С уважением, --Pasha An 20:25, 22 января 2008 (UTC)

  На сколько смог, учёл ваше замечание. Однако раздел «Обоснование» на мой взгляд невозможно довести до уровня обывателя. Не смотря на то, что я описал указанную последовательность символов словами, я сомневаюсь, что от этого человеку, не знающему мат анализа (или по крайней мере теории пределов и понятия о непрерывной функции) станет легче. И с этим было бы неплохо что-то сделать. И на мой взгляд делать это надо не путём правок и доведения статей до обывательского уровня, а повышением уровня университетского образования в массе людей, но всё же спрошу, может быть есть какие-нибудь предложения по этому поводу? --solitary dreamer 08:52, 23 января 2008 (UTC)

  Что касаемо образования, то я тут не в силах, но с пунктом согласен - улучшение всегда к лучшему, разве что гуманитарные люди, скажем, литературоведы, врядли освоят тонкости матана, но им этого и не нужно, достаточно основ. Однако пояснение нужно не только им. Согласитесь, даже в специализированных книгах, зачастую, хотябы оговаривают что это за буква дзю, и зачем она тут.
  Мне видится, что по всей википедии, присуща проблема непопулизма статей, т.е. статьи иногда, слишком сложны. Понятно, что многие вопросы, так просто не представишь. Тут необходим компромис, к примеру в том что статьи делать из двух частей. Популярной и научной. Многие, наверно не согласятся, но это ведь очень удобно. Ты специалист, но забыл, скажем формулу, или коэффициент у дроби, толи двойка, толи тройка. Смотришь соответствующую статью, соответствующий раздел. И вуаля! Готово. А если мне просто интересно, или мне нужно знать, но в общих чертах, то вот оно. С уважением,--Pasha An 13:32, 23 января 2008 (UTC)

  Интересно. А что в нынешнем виде статья тяжела для понимания людям с техническим образованием? Или вы хотите, чтобы каждый ребёнок понял о чём речь? может ещё раздел "проверка изученого" написать? (При этом увеличить статью в два раза для людей, которые страдают "синдромом замедленного торможения") По-моему, википедия должна содержать научный, а не научно-популяризаторский материал. --Алый Король 13:40, 23 января 2008 (UTC)

  С техничиским то как раз понять можно. Но душа требует ясностей (это относится ко всему). Так принято в науке: хоть как то пояснять то, что вводишь (хотябы банально так: "Смысл констант $~a$ и ${\frac {1}{T}}$, понятно из рисунка 2.13". Это уже пояснения, и практически в любой научной статье это есть. Более того, я не согласен, что вики - научная энциклопедия, хотябы потому, что большая часть статей - ненаучные. Кроме того, зачастую, когда мне необходимо увидеть ту или иную формулу (по физике чаще всего) их просто нет. Статьи (не говорю за все, а только по физике)по в своей массе мало представляют собой НАУЧНУЮ статью энциклопедии. Причем это касается не только основных постулатов физики, но тем более, более узких частей.
  Жаль, что приходится это писать тут, но... вынудили. Что касаемо рассматриваемой статьи, то введеные поянения уж по крайней мере не ухудшили её, а по моему мнению, только улучшили. С уважением, --Pasha An 00:14, 24 января 2008 (UTC)

Обсуждение, к сожалению, не без моей помощи несколько ушло от темы, о чём я вскоре пожалел. Надеюсь ни у кого не осталось осадка, и никто не в обиде. Правки внесены, высказанные мнения учтены. Благодарю всех за обсуждение. Считаю, что теперь статья достойна того, чтобы быть вынесеной в хорошие. Прошу высказываться на странице кандидатов.--solitary dreamer 19:44, 26 января 2008 (UTC)

Надо ли нам так расписывать про Канторовича? Может лучше просто написать что-то в духе "Одной из теорем описывающей границы применимости метода является" и дальше формулировка теоремы с гиперссылкой на него. А то строки про него выглядят очень странно в контексте статьи. halyavin 10:25, 7 ноября 2008 (UTC)

Где же классическое обоснование?

Ньютон, хотя и выдающийся математик, вряд ли мог пользоваться теоремой Банаха. Так что хотелось бы видеть классическое доказательство: разложим левую часть уравнения в ряд в окрестности текущего приближения, отбросим члены второго порядка и выше, решение получившегося линейного уравнения примем в качестве нового приближения. После этого, конечно, необходимо привести доказательство достаточных условий сходимости метода. По-моему, этот метод более в духе Ньютона. Если надо, могу написать сам. -- RedDuckbill 18:39, 22 ноября 2008 (UTC)

Так оно и есть, даже в детской энциклопедии об этом пишут. И рассматривается даже пример использования этого метода "отбрасываний". Вот только там не пишут о том, каким образом этот метод связуется с методом касательных, хотя связь какая-то есть. Mr.Freud 14:29, 9 октября 2012 (UTC)

Первый контрпример.

В статье говорится, что "Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись." График не наглядный, так как не показано действительное значение корня (где-то от -2 до -1), показан только участок функции, где происходит зацикливание и где корня в принципе нет. А вдруг у функции вообще нет корней, тогда о каком "решении" вообще идёт речь? --Metron19 13:32, 3 декабря 2011 (UTC)

• Ещё во всех контрпримерах почему-то "танцы" вокруг нуля, это число или корень, или предположение.178.206.29.193 12:10, 18 августа 2015 (UTC)

Доказательство сжимающего отображения

Согласно определению сжимающего отображения две предпоследние строчки в доказательстве лишние. МетаСкептик12 13:18, 17 сентября 2013 (UTC)

Раздел: Геометрическая интерпретация

23.12.2015 <ggbil2@gmail.com>, http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=19447 произведена коррекция раздела "Геометрическая интерпретация".

===========

Пока оставлен (с небольшими дополнениями), не относящийся к данному разделу абзац (о начальном приближении):

 Итерационный процесс начинается с некоторого начального приближения x_0 \in (a;\;b) , 
 причём между x_0 \in (a;\;b) и искомой точкой x^{*}\in (a;\;b) не должно быть других нулей функции f , 
 т.е. "чем ближе x_0 к искомому корню x^{*} , тем лучше". 
 Если предположения о нахождении x^{*} отсутствуют, 
 методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, 
 применив теорему о промежуточных значениях.

===========

Что ещё надо:

Рисунок (всего один !) желательно поправить: 1) дополнить обозначением x^{*} корня и \alpha_{n} для угла наклона касательной к f относительно оси OX ;

2) дополнить случаями (достаточно 2 из 4, т.е. всего 1 к уже имеющемуся) разных типов сочетания (выпуклость (вверх/вниз), сторона (слева/справа) от корня) и (соответственно) результирующего пересечения (типа первой итерации с левого рис. "Иллюстрация применения метода Ньютона к функции f(x)=\cos x-x^3" раздела "пример" ) ;

3) проиллюстрировать случай вылета за область определения/поиска ;

4) проиллюстрировать случай параболы f(x)=x^2 и/или функции f(x)=x^4 с приведением графика производной.

===========

Пишите <ggbil2@gmail.com>, если нашли "АшЫПки". ;) 85.140.3.204 11:16, 23 декабря 2015 (UTC) <ggbil2@gmail.com>

Метод секущих

23.12.2015 <ggbil2@gmail.com>, http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=19447 произведена коррекция раздела "Метод секущих".

Пишите <ggbil2@gmail.com>, если нашли "АшЫПки". ;) 85.140.3.204 12:51, 23 декабря 2015 (UTC)<ggbil2@gmail.com>

Предположительная ошибка в описании алгоритма

Цитата из описания алгоритма:

Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять $|x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon$ или $|f'(x_{n+1})|<\varepsilon$ (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Сомневаюсь, что $|f'(x_{n+1})|<\varepsilon$, т.к в случае, например $f(x)=x$, мы имеем постоянную производную, так что алгоритм либо закончит свою работу на первом шаге, либо не достигнет условия выхода никогда (под рукой как-раз был алгоритм, при смене условия завершения с $|x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon$ на $|f'(x_{n+1})|<\varepsilon$ на функции $f(x)=e^{x}-x+2$ (очевидно, что $f'(x)=e^{x}-1$ и $\inf _{x\in \mathbb {R} }{|f'(x)|}=1$), алгоритм предсказуемо зацикливается при точности, меньшей единицы)

Учитывая замечание про погрешность в нужных пределах, предположу, что должно быть $|f(x_{n+1})|<\varepsilon$ --20:30, 18 сентября 2018 (UTC)Mmmm98 (обс.)

• Да, вы правы. Спасибо за сообщение об ошибке. — Алексей Копылов 20:51, 18 сентября 2018 (UTC)

ссылка на теорему Банаха ведет на Метод простой итерации

Ссылка на теорему Банаха ведет на Метод простой итерации, где нет даже слова "банах". 81.1.191.42 07:40, 17 октября 2018 (UTC)

• Спасибо. Исправил. — Алексей Копылов 21:41, 17 октября 2018 (UTC)